Родился в Глухове 23 мая 1885 года в семье потомственных дворян Митрофана Васильевича  и Марии Иосифовны Филоненко-Бородич. Отец был лекарем и состоял врачом в больнице Св. Евфосинии и врачом Глуховской мужской гимназии.

Окончив в 1903 году с серебряной медалью Глуховскую гимназию Михаил поступил на математическое отделение физико-математического факультета Императорского Университета Св. Владимира в Киеве, который окончил с дипломом 1-ой степени в 1909 году. В этом же году Филоненко-Бородич поступил в Императорское Московское инженерное училище. В 1912 году, после окончания теоретического курса, был отправлен для отбывания 2-х летней практики на Владикавказскую железную дорогу на работы по расширению станции и постройке нового элеватора на станции Новороссийск. В 1914 году Михаил Митрофанович окончил полный курс Института инженеров Путей Сообщения Императора Николая II со званием инженера путей сообщения с правом производства всякого рода строительных работ и составления проектов всяких зданий и сооружений.

После окончания института Филоненко-Бородич работал в системе народного комиссариата путей сообщения и за это время написал ряд работ по механике движения поезда, статистике и экономике железнодорожного транспорта, а также по строительной механике и теории упругости. Одновременно с этим с 1919 года возглавлял кафедру строительной механики в Московском политехническом институте и Московском институте инженеров железнодорожного транспорта. В 1930 году начал работу в Московском университете, а с 1932 года в Военно-инженерной академии.

Генерал-майор инженерно-технической службы, профессор, Заслуженный деятель науки и техники РСФСР.

Скончался 30 мая 1962 года.